có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z-1/z-i = z-3i/z+i =1

Chọn C

Đặt (z=x+yileft(x,yin {rm R}right)). Điều kiện (zne 4)

(left|z-3iright|=5Leftrightarrow left|x+left(y-3right)iright|=5)

(Leftrightarrow x^{2} +left(y-3right)^{2} =25Leftrightarrow x^{2} +y^{2} -6y=16left(1right))

Do (frac{z}{z-4} =frac{x+yi}{left(x-4right)+yi} =frac{xleft(x-4right)+y^{2} }{left(x-4right)^{2} +y^{2} } -frac{4y}{left(x-4right)^{2} +y^{2} } i)

là số thuần ảo nên phần thực

(frac{xleft(x-4right)+y^{2} }{left(x-4right)^{2} +y^{2} } =0Rightarrow x^{2} +y^{2} -4x=0left(2right))

Trừ vế với vế của (left(1right)) và (left(2right)) suy ra

(4x-6y=16Leftrightarrow x=4+frac{3}{2} y),

thay vào (left(1right) )ta được:

(left(4+frac{3}{2} yright)^{2} +y^{2} -6y-16=0)

(Leftrightarrow frac{13}{4} y^{2} +6y=0Leftrightarrow left[begin{array}{l} {y=0} \ {y=-frac{24}{13} } end{array}right.)

Với y=0ta được x=4, suy ra z=4(loại).

Với (y=-frac{24}{13}) ta được (x=frac{16}{13}) và (z=frac{16}{13} -frac{24}{13} i) (thỏa mãn).

Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là

(z=frac{16}{13} -frac{24}{13} i.)